Задание 5. В правильном тетраэдре DABC (рис. 5) ребро равно 9. Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через центр грани АВС параллельно грани BDC. В ответе запишите результат, уменьшенный в √3 раз.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Правильный тетраэдр имеет 4 грани — правильные треугольники. Все ребра равны (a = 9).
2. Шаг 2: Центр грани ABC (точка O) является центром вписанной и описанной окружности равностороннего треугольника ABC.
3. Шаг 3: Плоскость сечения параллельна грани BDC.
4. Шаг 4: Пусть O — центр грани ABC, O₁ — центр грани BDC. Тогда линия OO₁ является высотой тетраэдра.
5. Шаг 5: Сечение, проходящее через центр грани ABC параллельно грани BDC, будет треугольником, подобным грани BDC.
6. Шаг 6: Рассмотрим высоту тетраэдра. Высота правильного тетраэдра $$h = a\sqrt{rac{2}{3}}$$.
7. Шаг 7: Точка O делит медиану (и высоту) треугольника ABC в отношении 2:1. Пусть M — середина BC. AM — медиана. $$AM = a\sqrt{rac{3}{2}} = 9\sqrt{rac{3}{2}} = rac{9\sqrt{6}}{2}$$.
8. Шаг 8: $$AO = rac{2}{3} AM = rac{2}{3} imes rac{9\sqrt{6}}{2} = 3\sqrt{6}$$.
9. Шаг 9: Точка пересечения плоскости с ребром DA обозначим как D'.
10. Шаг 10: Треугольник AD'D'' (где D'' - точка на DB) будет подобен треугольнику ADB.
11. Шаг 11: Центр грани ABC находится на расстоянии $$rac{1}{3}$$ высоты тетраэдра от основания.
12. Шаг 12: Высота грани DBC равна высоте грани ABC, т.е. $$h_{грани} = rac{9\sqrt{3}}{2}$$.
13. Шаг 13: Площадь грани BDC (правильного треугольника): $$S_{BDC} = rac{a^2\sqrt{3}}{4} = rac{9^2\sqrt{3}}{4} = rac{81\sqrt{3}}{4}$$.
14. Шаг 14: Плоскость сечения параллельна грани BDC. Она проходит через центр грани ABC.
15. Шаг 15: Расстояние от вершины D до грани ABC равно высоте тетраэдра $$H = 9\sqrt{rac{2}{3}}$$.
16. Шаг 16: Расстояние от центра грани ABC до плоскости BDC.
17. Шаг 17: Высота тетраэдра от D к ABC равна $$H$$. Расстояние от O до грани BDC равно $$rac{1}{3}H = rac{1}{3} 9\sqrt{rac{2}{3}} = 3\sqrt{rac{2}{3}} = rac{3\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6}$$.
18. Шаг 18: Высота тетраэдра DABC равна $$H = 9\sqrt{rac{2}{3}} = 3\sqrt{6}$$.
19. Шаг 19: Плоскость сечения проходит через центр грани ABC (O) параллельно грани BDC.
20. Шаг 20: Сечение — треугольник, подобный BDC. Отношение высот пирамид равно отношению высот граней.
21. Шаг 21: Высота от D до грани ABC равна $$H = 3\sqrt{6}$$.
22. Шаг 22: Центр грани ABC (O) находится на высоте $$h_O = rac{1}{3} H = rac{1}{3} 3\sqrt{6} = \sqrt{6}$$ от основания.
23. Шаг 23: Высота от вершины D до плоскости сечения. Расстояние от D до O.
24. Шаг 24: Рассмотрим высоту от вершины D к центру грани ABC. Это будет $$rac{2}{3}$$ высоты тетраэдра.
25. Шаг 25: Расстояние от вершины D до плоскости сечения. Расстояние от D до O.
26. Шаг 26: Расстояние от D до O равно $$H - h_O = 3\sqrt{6} - \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$$.
27. Шаг 27: Коэффициент подобия граней равен отношению расстояний от вершины D до плоскостей. $$k = rac{2\sqrt{6}}{3\sqrt{6}} = rac{2}{3}$$.
28. Шаг 28: Площадь сечения равна площади грани BDC, умноженной на квадрат коэффициента подобия. $$S_{сечения} = S_{BDC} imes k^2 = rac{81\sqrt{3}}{4} imes (rac{2}{3})^2 = rac{81\sqrt{3}}{4} imes rac{4}{9} = 9\sqrt{3}$$.
29. Шаг 29: В ответе требуется результат, уменьшенный в √3 раз.
30. Шаг 30: $$rac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 9$$.

Ответ: 9