ЗАДАНИЕ №3. В треугольниках EGH и BCD равны: радиусы вписанных окружностей; углы при вершинах H и D; стороны GH и CD. [Нижняя часть задания на изображении обрезана.]

По видимой части можно доказать равенство треугольников.

Обозначим радиус обеих вписанных окружностей через \(r\). Длина касательной от вершины к вписанной окружности равна \(r\mathop{\rm cot}(\alpha/2)\), где \(\alpha\) — угол при этой вершине.

Так как \(\angle H=\angle D\) и радиусы вписанных окружностей равны, касательные длины от вершин H и D равны.

Поскольку \(GH=CD\), то касательные длины от вершин G и C также равны: из равных сторон вычитаются равные касательные от H и D.

Оставшиеся касательные длины от вершин E и B определяются однозначно. Если касательные длины от H и G равны \(p\) и \(q\), то для третьей касательной длины \(x\) выполняется:

\[r^2(p+q+x)=pqx,\]

откуда

\[x=\frac{r^2(p+q)}{pq-r^2}.\]

Следовательно, касательные длины от вершин E и B равны. Значит, равны все три пары сторон треугольников, поэтому треугольники EGH и BCD равны по трём сторонам.

Ответ по видимой части: \(\triangle EGH\cong\triangle BCD\).