Задание №3. В треугольнике \(ABC\): \(BC=a\), \(\angle C=\gamma\) и \(\angle B=\beta\). Выразите биссектрисы \(l_C\) и \(l_B\) через \(\gamma\), \(\beta\) и \(a\).

Обозначим \(\alpha=\angle A=\pi-\beta-\gamma\). По теореме синусов:

\(CA=\dfrac{a\sin\beta}{\sin\alpha}\), \(AB=\dfrac{a\sin\gamma}{\sin\alpha}\).

Длина биссектрисы угла между сторонами \(x\) и \(y\) равна \(\dfrac{2xy\cos(\text{половина угла})}{x+y}\).

Для биссектрисы из вершины \(C\):

\[l_C=\frac{2\cdot BC\cdot CA\cos(\gamma/2)}{BC+CA}=\frac{2a\sin\beta\cos(\gamma/2)}{\sin\alpha+\sin\beta}.\]

Для биссектрисы из вершины \(B\):

\[l_B=\frac{2\cdot BC\cdot AB\cos(\beta/2)}{BC+AB}=\frac{2a\sin\gamma\cos(\beta/2)}{\sin\alpha+\sin\gamma}.\]

Подставляя \(\alpha=\pi-\beta-\gamma\), получаем:

Ответ: \(l_C=\dfrac{2a\sin\beta\cos(\gamma/2)}{\sin(\beta+\gamma)+\sin\beta}\), \(l_B=\dfrac{2a\sin\gamma\cos(\beta/2)}{\sin(\beta+\gamma)+\sin\gamma}\).