Задание 3. В треугольнике MKP ∠M = 30°, ∠P = 105°, MK = 12. Найдите сторону MP.

Сначала найдём третий угол:

\(\angle K=180^\circ-30^\circ-105^\circ=45^\circ\).

Сторона MK противолежит углу P, а сторона MP — углу K. По теореме синусов:

\(\dfrac{MP}{\sin 45^\circ}=\dfrac{12}{\sin 105^\circ}\).

Так как \(\sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), а \(\sin 105^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\), получаем:

\(MP=12\cdot\dfrac{\sqrt{2}/2}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})/4}=12(\sqrt{3}-1)\).

Ответ: \(MP=12(\sqrt{3}-1)\).