Задание 31. Найдите значение числового выражения: 1) (1/3)⁷ · 3⁷; 2) (4/9)⁵ · 2,25⁵; 3) (176/275)² · (275/88)²; 4) 125⁸ / 25¹¹; 5) (2/5)¹⁴ · (3/7)¹⁴ · (1 2/3)¹⁴ · (3 1/2)¹⁴; 6) (9⁶ / 25⁹) · (1 2/3)¹⁹.

1. Используем правило \(a^n b^n=(ab)^n\): \(\left(\frac{1}{3}\cdot3\right)^7=1^7=1\).

2. Так как \(2{,}25=\frac{9}{4}\), получаем \(\left(\frac{4}{9}\cdot\frac{9}{4}\right)^5=1^5=1\).

3. Объединяем степени с одинаковым показателем: \(\left(\frac{176}{275}\cdot\frac{275}{88}\right)^2=\left(\frac{176}{88}\right)^2=2^2=4\).

4. Представим числа как степени пятёрки: \(\frac{125^8}{25^{11}}=\frac{(5^3)^8}{(5^2)^{11}}=5^{24-22}=5^2=25\).

5. Преобразуем смешанные числа: \(1\frac{2}{3}=\frac{5}{3}\), \(3\frac{1}{2}=\frac{7}{2}\). Тогда \(\left(\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{7}\cdot\frac{5}{3}\cdot\frac{7}{2}\right)^{14}=1^{14}=1\).

6. Преобразуем смешанное число и степени: \(\frac{9^6}{25^9}\cdot\left(1\frac{2}{3}\right)^{19}=\frac{3^{12}}{5^{18}}\cdot\frac{5^{19}}{3^{19}}=\frac{5}{3^7}=\frac{5}{2187}\).

Ответ: 1) 1; 2) 1; 3) 4; 4) 25; 5) 1; 6) 5/2187.