Задание 4. Через точку K стороны AB равностороннего треугольника ABC проведён к его плоскости перпендикуляр MK. Проведите через точку M перпендикуляр к прямой AC.

Пусть H — основание перпендикуляра из K на AC. Тогда KH перпендикулярна AC, поскольку KH лежит в плоскости треугольника и является высотой к AC.

По условию MK перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, MK перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в частности AC. Прямые MK и KH пересекаются и лежат в плоскости MKH; поскольку AC перпендикулярна обеим, AC перпендикулярна плоскости MKH. Значит, прямая MH перпендикулярна AC.

Построение: опустите из K перпендикуляр KH на AC и проведите MH. Для равностороннего треугольника H — середина AC.

Ответ: искомый перпендикуляр — MH, где H — середина AC.