Задание 4: На рисунке 3 СК = 6 см, KD = 40 см, AK : KB = 3 : 5. Найдите длину хорды AB.

Решение:

1. По теореме о пересекающихся хордах, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
2. Хорда AB и хорда CD пересекаются в точке K.
3. Следовательно, \( AK \cdot KB = CK \cdot KD \).
4. Нам дано \( CK = 6 \text{ см} \) и \( KD = 40 \text{ см} \).
5. \( CK \cdot KD = 6 \text{ см} \cdot 40 \text{ см} = 240 \text{ см}^2 \).
6. Нам дано соотношение \( AK : KB = 3 : 5 \). Пусть \( AK = 3x \) и \( KB = 5x \).
7. Тогда \( AK \cdot KB = (3x) \cdot (5x) = 15x^2 \).
8. Приравниваем произведения отрезков: \( 15x^2 = 240 \text{ см}^2 \).
9. \( x^2 = \frac{240}{15} = 16 \text{ см}^2 \).
10. \( x = \sqrt{16} = 4 \text{ см} \).
11. Теперь найдем длины отрезков AK и KB:
12. \( AK = 3x = 3 \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см} \).
13. \( KB = 5x = 5 \cdot 4 \text{ см} = 20 \text{ см} \).
14. Длина хорды AB равна сумме отрезков AK и KB:
15. \( AB = AK + KB = 12 \text{ см} + 20 \text{ см} = 32 \text{ см} \).

Ответ: \( AB = 32 \text{ см} \).