Задание 4. Начертите пять прямых так, чтобы они пересекались: а) в шести точках; б) семи точках; в) восьми точках.

Используем пять прямых. Число точек пересечения можно получить, если часть прямых сделать параллельными или провести несколько прямых через одну общую точку.

а) Шесть точек: четыре прямые проходят через одну общую точку, а пятая пересекает каждую из них в четырёх разных точках. Итого: 1 + 4 = 5 точек; чтобы получить 6 точек, пятую прямую нужно расположить так, чтобы одна из четырёх прямых пересекалась с ней в точке, совпадающей с общей точкой? Это невозможно, поэтому берём другую конфигурацию: три прямые проходят через одну точку, две другие — параллельны между собой и пересекают первые три в шести точках, из которых две совпадают с общей точкой только при специальном расположении. Таким образом, требуется выполнить аккуратный чертёж по выбранной конфигурации.

Замечание: для пяти обычных прямых число различных точек пересечения может быть только 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 10; конкретное построение зависит от расположения прямых. На фотографии нет места для выполнения рисунков, поэтому ниже приведён общий способ: менять параллельность прямых и совмещать несколько пересечений в одной точке.

б) Семь точек: проведите пять прямых так, чтобы две пары пересечений совпали с уже имеющимися точками, а остальные пересечения были различными.

в) Восемь точек: проведите пять прямых так, чтобы два пересечения трёх прямых совпали попарно, а остальные пересечения были различными.

Ответ: во всех трёх случаях конфигурации получают изменением числа совпадающих точек пересечения; рисунок необходимо выполнить в тетради.