Задание №4. Найдите значение выражения: 1) \(\frac{6P_{11} - P_{10}}{13P_9}\) 2) \(C_7^3 / A_8^3\)

Решение:

1) \(\frac{6P_{11} - P_{10}}{13P_9}\)

Напомним формулу для числа размещений из n по k: \( P_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \).

\( P_{11} = \frac{11!}{(11-11)!} = 11! \)

\( P_{10} = \frac{10!}{(10-10)!} = 10! \)

\( P_9 = \frac{9!}{(9-9)!} = 9! \)

Подставим в выражение:

\( \frac{6 · 11! - 10!}{13 · 9!} = \frac{6 · 11 · 10 · 9! - 10 · 9!}{13 · 9!} = \frac{9! · (6 · 11 · 10 - 10)}{13 · 9!} \)

Сократим \( 9! \):

\( \frac{660 - 10}{13} = \frac{650}{13} = 50 \)

2) \(\frac{C_7^3}{A_8^3}\)

Напомним формулы для числа сочетаний \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) и числа размещений \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \).

\( C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 · 6 · 5}{3 · 2 · 1} = 35 \)

\( A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 · 7 · 6 = 336 \)

Теперь найдём частное:

\( \frac{C_7^3}{A_8^3} = \frac{35}{336} \)

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 7:

\( \frac{35 ÷ 7}{336 ÷ 7} = \frac{5}{48} \)

Ответ: 1) 50; 2) \(\frac{5}{48}\).