Задание 4. Найдите значение выражения: \(\sqrt{a^2+12ab+36b^2}\) при \(a=7\frac{2}{5}, b=\frac{3}{5}\)

Решение:

1. Упростим выражение под корнем. Заметим, что \(a^2+12ab+36b^2\) — это полный квадрат: \(a^2+12ab+36b^2 = (a+6b)^2\).
2. Тогда \(\sqrt{a^2+12ab+36b^2} = \sqrt{(a+6b)^2} = |a+6b|\).
3. Подставим значения \(a\) и \(b\). Сначала переведём смешанное число \(a\) в неправильную дробь: \(a = 7\frac{2}{5} = \frac{7 \times 5 + 2}{5} = \frac{37}{5}\).
4. Вычислим \(a+6b\): \(\frac{37}{5} + 6 \times \frac{3}{5} = \frac{37}{5} + \frac{18}{5} = \frac{55}{5} = 11\).
5. Так как \(a+6b = 11\), то \(|a+6b| = |11| = 11\).

Ответ: 11