Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x²-6x+5 и y=0.

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = x^2 - 6x + 5 \) и осью \( y = 0 \), необходимо найти точки пересечения этих двух линий. Приравниваем уравнения:

\[ x^2 - 6x + 5 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение:

\( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \)

\( \sqrt{D} = 4 \)

\( x_1 = \frac{6 - 4}{2} = 1 \)

\( x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5 \)

Теперь находим площадь фигуры, интегрируя разность функций между точками пересечения:

\[ S = \int_{1}^{5} (0 - (x^2 - 6x + 5)) dx = \int_{1}^{5} (-x^2 + 6x - 5) dx \]

Вычисляем интеграл:

\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x \right]_{1}^{5} \]

Подставляем пределы интегрирования:

\[ S = \left( -\frac{5^3}{3} + 3 \cdot 5^2 - 5 \cdot 5 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 3 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 \right) \]

\[ S = \left( -\frac{125}{3} + 75 - 25 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 3 - 5 \right) \]

\[ S = \left( -\frac{125}{3} + 50 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 2 \right) \]

\[ S = -\frac{125}{3} + 50 + \frac{1}{3} + 2 \]

\[ S = \frac{1 - 125}{3} + 52 = -\frac{124}{3} + \frac{156}{3} = \frac{32}{3} \]

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{32}{3} \) квадратных единиц.