Задание 6. Написать три первых члена ряда по заданному общему члену, определить интервал сходимости ряда и исследовать сходимость на концах интервала.

Решение:

Задан общий член ряда: \( a_n = \frac{nx^n}{3^n} \).

1. Три первых члена ряда:

Чтобы найти первые три члена ряда, подставим \( n = 1, 2, 3 \) в формулу общего члена:

• При \( n = 1 \): \( a_1 = \frac{1 \cdot x^1}{3^1} = \frac{x}{3} \)
• При \( n = 2 \): \( a_2 = \frac{2 \cdot x^2}{3^2} = \frac{2x^2}{9} \)
• При \( n = 3 \): \( a_3 = \frac{3 \cdot x^3}{3^3} = \frac{3x^3}{27} = \frac{x^3}{9} \)

2. Интервал сходимости:

Для определения интервала сходимости используем признак Даламбера. Рассмотрим предел отношения модулей последующего члена ряда к предыдущему:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)x^{n+1}}{3^{n+1}} : \frac{nx^n}{3^n} \right| \]\[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)x^{n+1}}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{nx^n} \right| \]\[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)x}{3n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x}{3} \cdot \frac{n+1}{n} \right| \]\[ L = \left| \frac{x}{3} \right| \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) = \left| \frac{x}{3} \right| \cdot 1 = \frac{|x|}{3} \]\[ L = \frac{|x|}{3} \]

По признаку Даламбера ряд сходится, если \( L < 1 \):

\[ \frac{|x|}{3} < 1 \]\[ |x| < 3 \]

Это означает, что ряд сходится при \( -3 < x < 3 \).

3. Исследование сходимости на концах интервала:

Исследуем сходимость ряда при \( x = 3 \) и \( x = -3 \).

Случай 1: \( x = 3 \)

Подставляем \( x = 3 \) в общий член ряда:

\[ a_n = \frac{n \cdot 3^n}{3^n} = n \]

Ряд принимает вид \( \sum_{n=1}^{\infty} n = 1 + 2 + 3 + \dots \).

Так как \( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} n = \infty \neq 0 \), то ряд расходится (необходимый признак сходимости не выполняется).

Случай 2: \( x = -3 \)

Подставляем \( x = -3 \) в общий член ряда:

\[ a_n = \frac{n \cdot (-3)^n}{3^n} = \frac{n \cdot (-1)^n \cdot 3^n}{3^n} = n (-1)^n \]

Ряд принимает вид \( \sum_{n=1}^{\infty} n (-1)^n = -1 + 2 - 3 + 4 - \dots \).

Это знакочередующийся ряд. Исследуем его на сходимость по признаку Лейбница. Необходимо проверить два условия:

1. \( b_n = |a_n| = |n(-1)^n| = n \). \( \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} n = \infty \neq 0 \).

Так как \( \lim_{n \to \infty} a_n \) не равен 0, ряд расходится.

Интервал сходимости: \( (-3, 3) \).

На концах интервала ряд расходится.

Ответ:

Первые три члена ряда: \( \frac{x}{3}, \frac{2x^2}{9}, \frac{x^3}{9} \).

Интервал сходимости: \( (-3, 3) \).

На концах интервала ряда расходится.