Задание №4. Основание AD прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом A равно 15. Найдите длину вектора \(\overrightarrow{BD}\), если \(AB=8\) и \(\angle D=45^\circ\).

Так как трапеция прямоугольная, \(AB\perp AD\), поэтому высота трапеции равна \(AB=8\).

Угол \(D=45^\circ\), следовательно, горизонтальная проекция боковой стороны равна высоте: разность оснований равна \(8\). Поэтому горизонтальная составляющая диагонали \(BD\) равна \(AD-8=15-8=7\).

По теореме Пифагора:

\[BD=\sqrt{7^2+8^2}=\sqrt{49+64}=\sqrt{113}.\]

Ответ: \(\sqrt{113}\).