ЗАДАНИЕ №4. Точка \(M\) делит диагональ \(AC\) параллелограмма \(ABCD\) в отношении \(AM:MC=1:4\). Обозначим векторы \(\overrightarrow{AB}=\vec a\) и \(\overrightarrow{AD}=\vec b\). Разложите вектор \(\overrightarrow{AM}\) по векторам \(\vec a\) и \(\vec b\).

В параллелограмме диагональ равна сумме векторов двух смежных сторон:

\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec a+\vec b\).

Из отношения \(AM:MC=1:4\) следует, что весь отрезок \(AC\) состоит из 5 равных частей, а \(AM\) — из одной. Поэтому \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}\).

Подставляем выражение для диагонали: \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}(\vec a+\vec b)=\frac{1}{5}\vec a+\frac{1}{5}\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}\vec a+\frac{1}{5}\vec b\).