Задание 4. Вычислите неопределённый интеграл ∫ (11x⁴ – 5x³ + 3x² – 4x + 8) dx.

Привет! Давай найдём этот неопределённый интеграл. Неопределённый интеграл — это, по сути, нахождение первообразной функции.

Мы будем применять правило интегрирования степенной функции: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1) + C, а также правило для суммы/разности функций и константы.

Шаг 1: Интегрируем каждый член по отдельности.

• Интеграл от 11x⁴: 11 * (x⁴⁺¹ / (4+1)) = 11 * (x⁵ / 5) = (11/5)x⁵.
• Интеграл от -5x³: -5 * (x³⁺¹ / (3+1)) = -5 * (x⁴ / 4) = -(5/4)x⁴.
• Интеграл от 3x²: 3 * (x²⁺¹ / (2+1)) = 3 * (x³ / 3) = x³.
• Интеграл от -4x: -4 * (x¹⁺¹ / (1+1)) = -4 * (x² / 2) = -2x².
• Интеграл от 8: 8x.

Шаг 2: Собираем все части вместе и добавляем константу интегрирования.

Неопределённый интеграл — это семейство функций, отличающихся на константу. Поэтому мы добавляем + C в конце.

∫ (11x⁴ – 5x³ + 3x² – 4x + 8) dx = (11/5)x⁵ - (5/4)x⁴ + x³ - 2x² + 8x + C.

Ответ: (11/5)x⁵ - (5/4)x⁴ + x³ - 2x² + 8x + C