Задание № 5. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите высоту трапеции, если AF = 12, BF = 5.

Пусть основания трапеции параллельны, а расстояние между ними равно высоте \(h\). Точка пересечения биссектрис находится внутри углов при концах боковой стороны \(AB\).

Расстояние от точки на биссектрисе до сторон угла одинаково. Поскольку основания параллельны, для точки \(F\) расстояния до оснований равны соответственно \(h/2\): отсюда проекции отрезков \(AF\) и \(BF\) на перпендикуляр к основаниям равны \(h/2\). Поэтому \(AF\sin\angle FAB=BF\sin\angle ABF=h/2\), а, кроме того, по свойству биссектрис при параллельных основаниях получается \(AF+BF=AB\) и отношение проекций приводит к \(h=\frac{2AF\cdot BF}{AF+BF}\).

Подставим данные: \(h=\frac{2\cdot12\cdot5}{12+5}=\frac{120}{17}\).

Ответ: \(\frac{120}{17}\).