Ответ:
1. Верно: Чехов родился в Таганроге в 1860 году.
2. Неверно: он окончил медицинский факультет Московского университета.
3. Верно: «Антоша Чехонте» — один из его псевдонимов.
4. Неверно: начинал он преимущественно с коротких юмористических рассказов, а не романов.
5. Верно: поездка на Сахалин состоялась в 1890 году.
6. Верно: Чехов занимался врачебной практикой, в том числе помогал нуждающимся.
7. Неверно: Чехов жил и работал в разных местах, в том числе в Москве, Мелихове и Ялте.
8. Верно: имение Мелихово он приобрёл в 1892 году.
9. Неверно: Чехов писал не только юмористические, но и серьёзные рассказы и пьесы.
10. Неверно: Чехов умер в 1904 году в немецком городе Баденвайлере.
Ответ: верные утверждения — 1, 3, 5, 6, 8.
