Ответ:

1. Верно: Чехов родился в Таганроге в 1860 году.

2. Неверно: он окончил медицинский факультет Московского университета.

3. Верно: «Антоша Чехонте» — один из его псевдонимов.

4. Неверно: начинал он преимущественно с коротких юмористических рассказов, а не романов.

5. Верно: поездка на Сахалин состоялась в 1890 году.

6. Верно: Чехов занимался врачебной практикой, в том числе помогал нуждающимся.

7. Неверно: Чехов жил и работал в разных местах, в том числе в Москве, Мелихове и Ялте.

8. Верно: имение Мелихово он приобрёл в 1892 году.

9. Неверно: Чехов писал не только юмористические, но и серьёзные рассказы и пьесы.

10. Неверно: Чехов умер в 1904 году в немецком городе Баденвайлере.

Ответ: верные утверждения — 1, 3, 5, 6, 8.