Задание 5. Решите неравенство: (x² - 4) / (2x + 1) < 0

Решение:

Для решения неравенства \( \frac{x^2 - 4}{2x + 1} < 0 \> методом интервалов, найдем корни числителя и знаменателя.

1. Найдем корни числителя: \( x^2 - 4 = 0 \> ⇒ \( x^2 = 4 \> ⇒ \( x = ± 2 \>.
2. Найдем корень знаменателя: \( 2x + 1 = 0 \> ⇒ \( 2x = -1 \> ⇒ \( x = -0.5 \>.

Отметим эти точки на числовой прямой: \( -2, -0.5, 2 \>. Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала:

• \( (-∞, -2) \>: Возьмем \( x = -3 \>. \( \frac{(-3)^2 - 4}{2(-3) + 1} = \frac{9 - 4}{-6 + 1} = \frac{5}{-5} = -1 < 0 \>.
• \( (-2, -0.5) \>: Возьмем \( x = -1 \>. \( \frac{(-1)^2 - 4}{2(-1) + 1} = \frac{1 - 4}{-2 + 1} = \frac{-3}{-1} = 3 > 0 \>.
• \( (-0.5, 2) \>: Возьмем \( x = 0 \>. \( \frac{0^2 - 4}{2(0) + 1} = \frac{-4}{1} = -4 < 0 \>.
• \( (2, +∞) \>: Возьмем \( x = 3 \>. \( \frac{3^2 - 4}{2(3) + 1} = \frac{9 - 4}{6 + 1} = \frac{5}{7} > 0 \>.

Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля. Это выполняется на интервалах \( (-∞, -2) \> и \( (-0.5, 2) \>.

Ответ: \( x \in \(-\infty, -2\) \(\cup\) (-0.5, 2) \>.