Задание 5. В параллелограмме ABCD сторона AB равна 10 см, диагональ BD перпендикулярна стороне AD и равна 8 см. Найдите площадь параллелограмма и длину диагонали AC.

Треугольник ABD прямоугольный, так как \(BD \perp AD\). По теореме Пифагора найдём сторону AD:

\(AD^2 = AB^2 - BD^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36\), поэтому \(AD = 6\) см.

Площадь параллелограмма вдвое больше площади треугольника ABD:

\(S_{ABCD} = 2 \cdot \frac{AD \cdot BD}{2} = 6 \cdot 8 = 48\) см².

По закону параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон:

\(AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)\).

\(AC^2 = 2(10^2 + 6^2) - 8^2 = 2 \cdot 136 - 64 = 208\), следовательно, \(AC = \sqrt{208} = 4\sqrt{13}\) см.

Ответ: площадь — 48 см²; диагональ AC — \(4\sqrt{13}\) см.