Задание №5. В равнобедренной трапеции MNCD с большим основанием MD диагональ MC перпендикулярна боковой стороне CD. Найдите MD, если NC = 11 см, а ∠D = 60°.

Обозначим через x горизонтальную проекцию каждой боковой стороны на большее основание. В равнобедренной трапеции выступы меньшего основания с двух сторон равны.

Так как ∠D = 60°, высота трапеции равна h = x · tg 60° = x√3.

Расположим точки так: M(0; 0), D(2x + 11; 0), N(x; h), C(x + 11; h). Условие MC ⟂ CD означает, что скалярное произведение векторов MC и CD равно нулю: (x + 11)x − h² = 0.

Подставим h² = 3x²: x(x + 11) − 3x² = 0, откуда x(11 − 2x) = 0. Поскольку x > 0, x = 5,5 см.

Тогда MD = 2x + NC = 2 · 5,5 + 11 = 22 см.

Ответ: 22 см.