Задание 5. В цепи из трёх одинаковых последовательно включённых резисторов за час выделяется количество теплоты, равное 230 Дж. Какое количество теплоты выделяется в цепи из этих резисторов за час, если все три резистора включить параллельно друг другу, а подводимое к ним напряжение уменьшить в 3 раза?

Решение:

Пусть сопротивление каждого резистора равно R. Теплота, выделяемая в цепи, пропорциональна квадрату силы тока и сопротивлению (или квадрату напряжения и обратно пропорциональна сопротивлению).

Случай 1: Резисторы соединены последовательно.

1. Общее сопротивление: При последовательном соединении трех одинаковых резисторов общее сопротивление цепи равно R_общее = R + R + R = 3R.
2. Количество теплоты: Количество теплоты, выделяемое за время t, равно Q = rac{U^2}{R_{общее}} imes t.
3. В данном случае: Q₁ = rac{U^2}{3R} imes t = 230 Дж.

Случай 2: Резисторы соединены параллельно.

1. Общее сопротивление: При параллельном соединении трех одинаковых резисторов общее сопротивление цепи равно rac{1}{R'_{общее}} = rac{1}{R} + rac{1}{R} + rac{1}{R} = rac{3}{R}, откуда R'_общее = rac{R}{3}.
2. Изменение напряжения: Подводимое напряжение уменьшено в 3 раза, то есть новое напряжение U' = rac{U}{3}.
3. Количество теплоты: Новое количество теплоты Q₂ = rac{(U')^2}{R'_{общее}} imes t.
4. Подстановка значений: Q₂ = rac{(rac{U}{3})^2}{rac{R}{3}} imes t = rac{rac{U^2}{9}}{rac{R}{3}} imes t = rac{U^2}{9} imes rac{3}{R} imes t = rac{3}{9} imes rac{U^2}{R} imes t = rac{1}{3} imes rac{U^2}{R} imes t.
5. Сравнение Q₁ и Q₂: Из Случая 1 мы знаем, что rac{U^2}{3R} imes t = 230 Дж.
6. Выразим Q₂ через Q₁: Q₂ = rac{1}{3} imes (3 imes rac{U^2}{3R} imes t) = rac{1}{3} imes (3 imes Q_1) = Q_1.
7. Однако, если понимать условие так, что исходное напряжение было подведено к последовательно соединенным резисторам, а новое напряжение (уменьшенное в 3 раза) подведено к параллельно соединенным, то:
8. Q₂ = rac{(rac{U}{3})^2}{rac{R}{3}} imes t = rac{U^2/9}{R/3} imes t = rac{U^2}{9} imes rac{3}{R} imes t = rac{3}{9} imes rac{U^2}{R} imes t = rac{1}{3} imes rac{U^2}{R} imes t
9. Связь с Q₁: Мы знаем, что 230 Дж = rac{U^2}{3R} imes t. Следовательно rac{U^2}{R} imes t = 3 imes 230 Дж = 690 Дж.
10. Расчет Q₂: Q₂ = rac{1}{3} imes 690 Дж = 230 Дж.
11. Переформулируем: Если Q₁ = 230 Дж выделяется за час при последовательном соединении, то Q₁ = I²R_общееt = I²(3R)t = 230 Дж.
12. При параллельном соединении общее сопротивление R'_общее = R/3.
13. Если напряжение то же, то ток I' = U / (R/3) = 3I.
14. Теплота Q₂ = (I')² R'_общее t = (3I)² (R/3) t = 9I² (R/3) t = 3I² R t.
15. Но 230 Дж = I²(3R)t, следовательно I²Rt = 230/3 Дж.
16. Тогда Q₂ = 3 * (230/3) = 230 Дж.
17. Если подводимое напряжение уменьшить в 3 раза, то U₂ = U/3.
18. Ток при параллельном соединении с новым напряжением: I₂ = U₂ / R'_общее = (U/3) / (R/3) = U/R.
19. Теплота Q₂ = (I₂)² R'_общее t = (U/R)² (R/3) t = (U²/R²) * (R/3) * t = U²t / (3R).
20. Связь с Q₁: 230 Дж = U²t / (3 * 3R) = U²t / (9R).
21. Из этого следует U²t / R = 230 * 3 = 690 Дж.
22. Тогда Q₂ = (1/3) * (U²t / R) = (1/3) * 690 Дж = 230 Дж.
23. Давайте разберемся по частям:
24. 1. Последовательное соединение:
25. * Общее сопротивление: $$R_{общ1} = R + R + R = 3R$$.
26. * Выделяемая теплота за час: $$Q_1 = rac{U^2}{R_{общ1}} t = rac{U^2}{3R} t = 230$$ Дж.
27. 2. Параллельное соединение:
28. * Общее сопротивление: $$R_{общ2} = rac{R}{3}$$.
29. * Подводимое напряжение уменьшено в 3 раза: $$U_2 = rac{U}{3}$$.
30. * Выделяемая теплота: $$Q_2 = rac{U_2^2}{R_{общ2}} t = rac{(rac{U}{3})^2}{rac{R}{3}} t = rac{rac{U^2}{9}}{rac{R}{3}} t = rac{U^2}{9} imes rac{3}{R} t = rac{3U^2}{9R} t = rac{U^2}{3R} t$$.
31. Сравнение: Мы видим, что $$Q_2 = rac{U^2}{3R} t$$ и $$Q_1 = rac{U^2}{3R} t$$.
32. Следовательно, $$Q_2 = Q_1 = 230$$ Дж.

Ответ: 230 Дж