Задание 6. Аккумулятор подключён к цепи, содержащей два параллельных резистора сопротивлением 12 Ом и 4 Ом, причём в цепи второго резистора имеется ключ. Тепловая мощность, выделяемая во внешней цепи, одинакова при замкнутом и разомкнутом ключе. Определите внутреннее сопротивление аккумулятора.

Решение:

Обозначим сопротивления резисторов как $$R_1 = 12$$ Ом и $$R_2 = 4$$ Ом. Пусть внутреннее сопротивление аккумулятора равно $$r$$. Пусть ЭДС аккумулятора равна $$\mathcal{E}$$.

Случай 1: Ключ замкнут.

При замкнутом ключе оба резистора включены параллельно. Общее сопротивление внешней цепи $$R_{внешн1}$$:

• $$ \frac{1}{R_{внешн1}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1 + 3}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $$
• $$ R_{внешн1} = 3 \text{ Ом} $$

Общий ток в цепи $$I_1$$:

• $$ I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_{внешн1} + r} = \frac{\mathcal{E}}{3 + r} $$

Тепловая мощность, выделяемая во внешней цепи $$P_1$$:

• $$ P_1 = I_1^2 R_{внешн1} = \left( \frac{\mathcal{E}}{3 + r} \right)^2 \times 3 $$

Случай 2: Ключ разомкнут.

При разомкнутом ключе включен только первый резистор $$R_1 = 12$$ Ом. Общее сопротивление внешней цепи $$R_{внешн2}$$:

• $$ R_{внешн2} = R_1 = 12 \text{ Ом} $$

Общий ток в цепи $$I_2$$:

• $$ I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_{внешн2} + r} = \frac{\mathcal{E}}{12 + r} $$

Тепловая мощность, выделяемая во внешней цепи $$P_2$$:

• $$ P_2 = I_2^2 R_{внешн2} = \left( \frac{\mathcal{E}}{12 + r} \right)^2 \times 12 $$

По условию, тепловая мощность одинакова: $$P_1 = P_2$$.

• $$ \left( \frac{\mathcal{E}}{3 + r} \right)^2 \times 3 = \left( \frac{\mathcal{E}}{12 + r} \right)^2 \times 12 $$

Сократим $$\mathcal{E}^2$$ (так как $$\mathcal{E}
eq 0$$):

• $$ \frac{3}{(3 + r)^2} = \frac{12}{(12 + r)^2} $$

Разделим обе части на 3:

• $$ \frac{1}{(3 + r)^2} = \frac{4}{(12 + r)^2} $$

Возьмем квадратный корень из обеих частей:

• $$ \frac{1}{3 + r} = \frac{2}{12 + r} $$

Решим полученное уравнение:

• $$ 1 \times (12 + r) = 2 \times (3 + r) $$
• $$ 12 + r = 6 + 2r $$
• $$ 12 - 6 = 2r - r $$
• $$ 6 = r $$

Итак, внутреннее сопротивление аккумулятора равно 6 Ом.

Проверка:

При $$r=6$$ Ом:

• $$P_1 = \left( \frac{\mathcal{E}}{3 + 6} \right)^2 \times 3 = \left( \frac{\mathcal{E}}{9} \right)^2 \times 3 = \frac{\mathcal{E}^2}{81} \times 3 = \frac{\mathcal{E}^2}{27}$$
• $$P_2 = \left( \frac{\mathcal{E}}{12 + 6} \right)^2 \times 12 = \left( \frac{\mathcal{E}}{18} \right)^2 \times 12 = \frac{\mathcal{E}^2}{324} \times 12 = \frac{12\mathcal{E}^2}{324} = \frac{\mathcal{E}^2}{27}$$

Мощности равны.

Ответ: 6 Ом