Задание №5. Внутри квадрата ABCD взята точка K и на отрезке AK как на стороне построен квадрат AKLM, у которого сторона KL пересекает сторону AD. Найдите длину отрезка DM, если AB = 5, AK = 4, BK = 5,5.

Обозначим координаты точек: A(0; 0), B(5; 0), D(0; 5), K(x; y).

1. Из AK = 4 следует: \(x^2+y^2=16\).
2. Из BK = 5,5 следует: \((x-5)^2+y^2=30.25\). Вычтем первое равенство из второго: \(25-10x=14.25\), поэтому \(x=1.075\).
3. В квадрате AKLM вектор AM перпендикулярен AK и равен ему по длине. По условию сторона KL пересекает AD, поэтому M находится со стороны отрицательных значений координаты x; значит, координаты M равны \((-y;x)\).
4. Тогда \(DM^2=y^2+(5-x)^2\). Так как \(x^2+y^2=16\), получаем \(DM^2=16-x^2+(5-x)^2=41-10x=30.25\). Следовательно, \(DM=5.5\).

Ответ: 5,5.