Задание №6. Диагональ FC квадрата FECD равна 9 см. Прямая, проходящая через точку F и перпендикулярная к прямой FC, пересекает прямые EC и CD соответственно в точках M и N. Найдите MN.

Пусть сторона квадрата равна \(a\). В квадрате диагональ равна стороне, умноженной на \(\sqrt{2}\), поэтому \(a\sqrt{2}=9\).

Расположим квадрат так, чтобы F(0; 0), E(0; a), C(a; a), D(a; 0). Диагональ FC имеет наклон 1, поэтому перпендикулярная ей прямая через F задаётся уравнением \(y=-x\).

1. Прямая EC имеет уравнение \(y=a\). На пересечении с \(y=-x\) получаем M(−a; a).
2. Прямая CD имеет уравнение \(x=a\). На пересечении с \(y=-x\) получаем N(a; −a).
3. По формуле расстояния \(MN=\sqrt{(2a)^2+(-2a)^2}=2a\sqrt{2}\). Поскольку \(a\sqrt{2}=9\), имеем \(MN=18\) см.

Ответ: 18 см.