Задание №5. Внутри квадрата HECD взята точка K и на отрезке HK как на стороне построен квадрат HKLM, у которого сторона KL пересекает сторону HD. Найдите длину отрезка DM, если HE = 11, HK = 9, EK = 11,5.

Обозначим координаты вершин квадрата HECD так: H = (0; 0), E = (11; 0), D = (0; 11), C = (11; 11), а K = (x; y).

1. Из условий HK = 9 и EK = 11,5 получаем: \(x^2+y^2=81\) и \((x-11)^2+y^2=132.25\).

2. Вычитая первое равенство из второго, находим \(-22x+121=51.25\), откуда \(x=279/88\).

3. Вектор HK равен \((x;y)\). Так как квадрат HKLM построен внутрь исходного квадрата и KL пересекает HD, вектор HM получается поворотом HK на 90° против часовой стрелки: \((-y;x)\). Поэтому M = (−y; x).

4. Тогда \(DM^2=y^2+(11-x)^2\). Используем \(y^2=81-x^2\): \(DM^2=81-x^2+(11-x)^2=202-22x=132.25\). Следовательно, \(DM=11.5\).

Ответ: DM = 11,5.