Задание №6. Диагональ AC квадрата ABCD равна 4 см. Прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная к прямой AC, пересекает прямые BC и CD соответственно в точках M и N. Найдите MN.

Пусть сторона квадрата равна \(a\). Тогда диагональ квадрата \(AC=a\sqrt{2}=4\), поэтому \(a=2\sqrt{2}\) см.

Расположим квадрат так: A = (0; 0), B = (a; 0), C = (a; a), D = (0; a). Диагональ AC имеет наклон 1, значит перпендикулярная ей прямая через A имеет уравнение \(y=-x\).

Прямая BC задаётся уравнением \(x=a\), поэтому M = (a; −a). Прямая CD задаётся уравнением \(y=a\), поэтому N = (−a; a). Следовательно, \(MN=\sqrt{(2a)^2+(-2a)^2}=2a\sqrt{2}=8\) см.

Ответ: MN = 8 см.