Задание 6 (25 баллов). Подъёмный кран с двигателем мощностью 15 кВт равномерно поднимает груз массой 3 т. Коэффициент полезного действия крана составляет 60%. Определите: 1. скорость подъёма груза; 2. время, за которое кран поднимет груз на высоту 20 м; 3. какую максимальную массу (с точностью до десятых тонн) груза сможет поднять этот кран, если требуется поднять его со скоростью 0,3 м/с при том же КПД?

Краткое пояснение:

Дано:

• Мощность двигателя (N_двиг) = 15 кВт = 15000 Вт
• Масса груза (m_гр) = 3 т = 3000 кг
• Коэффициент полезного действия (КПД, η) = 60% = 0.6

Решение:

1. Скорость подъема груза (v₁):
   Сначала найдем полезную мощность крана (N_{полезная}), учитывая КПД:
   \[ N_{полезная} = N_{двиг} \cdot \eta = 15000 \text{ Вт} \cdot 0.6 = 9000 \text{ Вт} \]
   Полезная мощность — это работа, совершаемая над грузом, деленная на время. Работа равна силе тяжести груза (F_тяж), умноженной на высоту подъема (s). Сила тяжести: F_тяж = m_гр ⋅ g = 3000 кг ⋅ 9.8 м/с² = 29400 Н.
   Мощность также можно выразить как N = F ⋅ v.
   Следовательно, полезная мощность равна силе тяжести, умноженной на скорость подъема:
   \[ N_{полезная} = F_{тяж} \cdot v_1 \]
   Отсюда найдем скорость:\[ v_1 = \frac{N_{полезная}}{F_{тяж}} = \frac{9000 \text{ Вт}}{29400 \text{ Н}} \approx 0.306 \text{ м/с} \]
2. Время подъема груза на высоту 20 м (t₂):
   Работа, совершенная для подъема груза на высоту h = 20 м:
   \[ A_{полезная} = F_{тяж} \cdot h = 29400 \text{ Н} \cdot 20 \text{ м} = 588000 \text{ Дж} \]
   Теперь найдем затраченную работу, используя КПД:\[ A_{затраченная} = \frac{A_{полезная}}{\eta} = \frac{588000 \text{ Дж}}{0.6} = 980000 \text{ Дж} \]
   Время подъема равно затраченной работе, деленной на мощность двигателя:\[ t_2 = \frac{A_{затраченная}}{N_{двиг}} = \frac{980000 \text{ Дж}}{15000 \text{ Вт}} \approx 65.33 \text{ с} \]
3. Максимальная масса груза (m_max) при скорости 0,3 м/с:
   Используем ту же полезную мощность (N_{полезная} = 9000 Вт) и заданную скорость (v₂ = 0.3 м/с).
   Найдем силу, соответствующую этой мощности и скорости:\[ F_{max} = \frac{N_{полезная}}{v_2} = \frac{9000 \text{ Вт}}{0.3 \text{ м/с}} = 30000 \text{ Н} \]
   Эта сила соответствует максимальной массе груза, которую кран может поднимать с заданной скоростью:
   \[ m_{max} = \frac{F_{max}}{g} = \frac{30000 \text{ Н}}{9.8 \text{ м/с²}} \approx 3061.2 \text{ кг} \]
   Переведем в тонны:
   \[ m_{max} \approx 3.06 \text{ т} \]

Ответ:

• Скорость подъема груза: ≈ 0.306 м/с
• Время подъема груза на высоту 20 м: ≈ 65.33 с
• Максимальная масса груза, которую кран сможет поднять со скоростью 0,3 м/с: ≈ 3.1 т (округлим до десятых тонн).