ЗАДАНИЕ 6. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором диагонали пересекаются в точке O. Обязательно ли он является параллелограммом, если а) AB = CD и AO = CO; б) AO = OC и ∠ABC = ∠ADC?

а) Рассмотрим треугольники AOB и COD.

1. AO = CO по условию.
2. ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы.
3. AB = CD по условию.

Следовательно, треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому OB = OD.

Итак, диагонали AC и BD делятся точкой O пополам: AO = OC и BO = OD. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

б) Так как точки B, O, D лежат на одной прямой, то ∠ABO = ∠ABC и ∠CDO = ∠ADC. Поэтому ∠ABO = ∠CDO.

Рассмотрим треугольники AOB и COD:

1. AO = CO по условию.
2. ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы.
3. ∠ABO = ∠CDO.

Следовательно, треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам. Значит, OB = OD.

Диагонали AC и BD делятся точкой O пополам, поэтому ABCD — параллелограмм.

Ответ: а) да; б) да.