ЗАДАНИЕ 8. В параллелограмме ABCD через точку пересечения диагоналей провели две прямые. Первая пересекает стороны AB и CD в точках K и M соответственно, вторая пересекает стороны BC и AD в точках L и N соответственно. Докажите, что KLMN — параллелограмм.

Обозначим точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD через O.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому O является центром центральной симметрии параллелограмма: при этой симметрии A переходит в C, а B — в D.

Первая прямая проходит через O и пересекает стороны AB и CD в точках K и M. При центральной симметрии точка K переходит в точку M, поэтому O — середина отрезка KM.

Аналогично, вторая прямая проходит через O и пересекает стороны BC и AD в точках L и N. Поэтому O — середина отрезка LN.

В четырёхугольнике KLMN диагонали KM и LN пересекаются и делятся пополам. Следовательно, по признаку параллелограмма KLMN — параллелограмм.

Ответ: KLMN — параллелограмм.