Задание 6. Докажите, что если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пусть диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD.

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD. У них AO = OC и BO = OD, а углы AOB и COD равны как вертикальные.
2. Треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, соответствующие углы OAB и OCD равны, поэтому AB ∥ CD.
3. Рассмотрим треугольники AOD и COB. Аналогично, AO = OC, OD = OB и углы AOD и COB равны как вертикальные.
4. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства соответствующих углов следует, что AD ∥ BC.

У четырёхугольника обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, он является параллелограммом.