Задание 6. Найдите наибольшее значение функции ... 1) y=5+6x-x√х на отрезке [14; 23];

Решение:

Найдем производную функции \( y = 5 + 6x - x\sqrt{x} \).

\( y' = 6 - \left( 1 \cdot \sqrt{x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \right) = 6 - \left( \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2} \right) = 6 - \frac{3}{2}\sqrt{x} \).

Приравняем производную к нулю:

\[ 6 - \frac{3}{2}\sqrt{x} = 0 \]

\[ \frac{3}{2}\sqrt{x} = 6 \]

\[ \sqrt{x} = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4 \]

\[ x = 16 \]

Проверим значение функции на концах отрезка и в критической точке (если она попадает в отрезок).

\( x = 14 \): \( y = 5 + 6 \cdot 14 - 14\sqrt{14} = 5 + 84 - 14\sqrt{14} = 89 - 14\sqrt{14} \approx 89 - 14 \cdot 3.74 = 89 - 52.36 = 36.64 \).

\( x = 16 \): \( y = 5 + 6 \cdot 16 - 16\sqrt{16} = 5 + 96 - 16 \cdot 4 = 5 + 96 - 64 = 37 \).

\( x = 23 \): \( y = 5 + 6 \cdot 23 - 23\sqrt{23} = 5 + 138 - 23\sqrt{23} = 143 - 23\sqrt{23} \approx 143 - 23 \cdot 4.8 = 143 - 110.4 = 32.6 \).

Сравнивая значения, наибольшее значение функции равно 37.

Ответ: 37