Задание 6. Найдите наибольшее значение функции ... 4) y=7+6x-2х√х на отрезке [1; 10].

Решение:

Найдем производную функции \( y = 7 + 6x - 2x\sqrt{x} \).

\( y' = 6 - 2 \left( 1 \cdot \sqrt{x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \right) = 6 - 2 \left( \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2} \right) = 6 - 2 \cdot \frac{3}{2}\sqrt{x} = 6 - 3\sqrt{x} \).

Приравняем производную к нулю:

\[ 6 - 3\sqrt{x} = 0 \]

\[ 3\sqrt{x} = 6 \]

\[ \sqrt{x} = 2 \]

\[ x = 4 \]

Проверим значение функции на концах отрезка и в критической точке (так как 4 находится в отрезке [1; 10]).

\( x = 1 \): \( y = 7 + 6 \cdot 1 - 2 \cdot 1\sqrt{1} = 7 + 6 - 2 = 11 \).

\( x = 4 \): \( y = 7 + 6 \cdot 4 - 2 \cdot 4\sqrt{4} = 7 + 24 - 8 \cdot 2 = 7 + 24 - 16 = 15 \).

\( x = 10 \): \( y = 7 + 6 \cdot 10 - 2 \cdot 10\sqrt{10} = 7 + 60 - 20\sqrt{10} = 67 - 20\sqrt{10} \approx 67 - 20 \cdot 3.16 = 67 - 63.2 = 3.8 \).

Сравнивая значения, наибольшее значение функции равно 15.

Ответ: 15