Задание 6: Сторона основания правильной треугольной призмы равна 10 см, диагональ боковой грани с плоскостью основания образует угол 60°. Вычислите объем призмы.

Дано:

• Правильная треугольная призма.
• Сторона основания (a) = 10 см.
• Угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания (α) = 60°.

Найти: Объем призмы (V)

Решение:

1. Находим высоту боковой грани (h):
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю боковой грани, ребром основания и высотой призмы. Диагональ боковой грани является гипотенузой. Угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания — это угол между диагональю и ребром основания, то есть угол α. Высота призмы (h) является катетом, противолежащим этому углу.
2. Используем тригонометрическую функцию тангенса:
• \[ \tan(\alpha) = \frac{h}{a} \]
• \[ h = a \cdot \tan(\alpha) \]
• \[ h = 10 \text{ см} \cdot \tan(60°) \]
• \[ h = 10 \text{ см} \cdot \sqrt{3} \]
• \[ h = 10\sqrt{3} \text{ см} \]
3. Находим площадь основания (S_осн):
   Основание — правильный треугольник. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле:
• \[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]
• \[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} (10 \text{ см})^2 \]
• \[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 100 \text{ см}^2 \]
• \[ S_{\text{осн}} = 25\sqrt{3} \text{ см}^2 \]
4. Находим объем призмы (V):
   Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.
• \[ V = S_{\text{осн}} \cdot h \]
• \[ V = 25\sqrt{3} \text{ см}^2 \cdot 10\sqrt{3} \text{ см} \]
• \[ V = 250 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) \text{ см}^3 \]
• \[ V = 250 \cdot 3 \text{ см}^3 \]
• \[ V = 750 \text{ см}^3 \]

Ответ: 750 см³