Задание 6. В окружности проведены хорды EF и GH, пересекающиеся в точке М. EM = 3 см, MF = 12 см, GM : MH = 2:3. а) Найдите длины отрезков GM и МН. б) Найдите радиус окружности, если известно, что ее центр лежит на хорде EF, а EF — диаметр.

Решение:

а) Находим длины отрезков GM и MH:

1. Теорема о пересекающихся хордах: Когда две хорды пересекаются внутри окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

Для хорд EF и GH, пересекающихся в точке M, это выглядит так:

\[ EM ∙ MF = GM ∙ MH \]

2. Подставляем известные значения:

\[ 3\text{ см} \cdot 12\text{ см} = GM \u2219 MH \]

\[ 36\text{ см}^2 = GM \u2219 MH \]

3. Используем соотношение GM : MH = 2 : 3:

Пусть GM = 2x, тогда MH = 3x, где x — некоторое число.

Подставляем это в уравнение:

\[ (2x) \u2219 (3x) = 36\text{ см}^2 \]

\[ 6x^2 = 36\text{ см}^2 \]

\[ x^2 = \frac{36}{6}\text{ см}^2 \]

\[ x^2 = 6\text{ см}^2 \]

\[ x = \sqrt{6}\text{ см} \]

4. Находим длины отрезков:

\[ GM = 2x = 2\sqrt{6}\text{ см} \]

\[ MH = 3x = 3\sqrt{6}\text{ см} \]

б) Находим радиус окружности:

1. Центр окружности лежит на диаметре EF:

По условию, хорда EF является диаметром, и центр окружности O лежит на ней. Это значит, что точка O — это середина отрезка EF.

2. Длина диаметра EF:

\[ EF = EM + MF = 3\text{ см} + 12\text{ см} = 15\text{ см} \]

3. Радиус окружности:

Радиус равен половине диаметра:

\[ R = \frac{EF}{2} = \frac{15\text{ см}}{2} = 7.5\text{ см} \]

Важно: В этом пункте информация о хорде GH не нужна, так как EF — это диаметр, и его длина напрямую определяет радиус.

Ответ:

а) GM = 2√6 см, MH = 3√6 см

б) Радиус окружности равен 7.5 см