Задание № 6. В параллелограмме KLMN со сторонами KL = 4 и KN = 5 и диагональю KM = 8 диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину вектора \(\overrightarrow{LO}+\overrightarrow{KO}\).

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Обозначим \(\overrightarrow{KL}=\mathbf a\), \(\overrightarrow{KN}=\mathbf b\). Тогда \(\overrightarrow{KM}=\mathbf a+\mathbf b\), а \(\overrightarrow{KO}=\frac{\mathbf a+\mathbf b}{2}\).

Так как \(\overrightarrow{KL}=\mathbf a\), получаем \(\overrightarrow{LO}=\overrightarrow{KO}-\overrightarrow{KL}=\frac{\mathbf b-\mathbf a}{2}\).

Тогда \(\overrightarrow{LO}+\overrightarrow{KO}=\frac{\mathbf b-\mathbf a}{2}+\frac{\mathbf a+\mathbf b}{2}=\mathbf b=\overrightarrow{KN}\). Длина этого вектора равна \(KN=5\).

Ответ: 5.