Задание №6. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 2 и BC = BM. Найдите AH.

Так как BM — медиана, M — середина AC. Поэтому AM = MC = 1.

Условие BC = BM означает, что точка B равноудалена от M и C. Следовательно, B лежит на серединном перпендикуляре к MC. Поскольку M и C лежат на прямой AC, этот перпендикуляр проходит через середину MC — точку M — и перпендикулярен AC. Значит, высота BH проходит через M, то есть H = M.

Тогда AH = AM = 1.

Ответ: AH = 1.