Задание 7. ∠AOB = 90°, CB — диаметр. Докажите, что AC = AB.

Краткое пояснение:

Чтобы доказать равенство отрезков AC и AB, нам нужно показать, что треугольник ACB является равнобедренным. Это можно сделать, используя свойства вписанного угла и равнобедренного треугольника.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим треугольник AOB. Так как ∠AOB = 90°, и OA = OB (радиусы окружности), то треугольник AOB является равнобедренным прямоугольным треугольником.
2. Шаг 2: Рассмотрим вписанный угол ACB. Он опирается на диаметр CB, следовательно, ∠ACB = 90°. Это означает, что треугольник ACB является прямоугольным.
3. Шаг 3: В треугольнике AOB, так как OA = OB, углы при основании равны: ∠OAB = ∠OBA = (180° - 90°) / 2 = 45°.
4. Шаг 4: Теперь рассмотрим треугольник ACB. Мы знаем, что ∠ACB = 90°. Угол ∠ABC (он же ∠OBA) равен 45°. Следовательно, угол ∠BAC = 180° - 90° - 45° = 45°.
5. Шаг 5: Так как в треугольнике ACB два угла равны (∠ABC = ∠BAC = 45°), то треугольник ACB является равнобедренным. Следовательно, стороны, лежащие против равных углов, равны: AC = AB.

Что и требовалось доказать.