ЗАДАНИЕ 7. Д) Какова сумма степеней вершин в получившемся графе?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Вспомним, что в пункте Г) мы удалили 4 ребра из исходного графа, чтобы получить граф без циклов, но связный.
2. Шаг 2: Исходный граф имел 9 рёбер. После удаления 4 рёбер, в получившемся графе осталось 9 - 4 = 5 рёбер.
3. Шаг 3: Согласно теореме о сумме степеней, сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству его рёбер.
4. Шаг 4: В получившемся графе 5 рёбер. Следовательно, сумма степеней вершин равна 2 * 5 = 10.
5. Шаг 5: Для проверки: в пункте А) мы определили степени вершин исходного графа: A(2), B(2), C(2), D(5), E(2), F(2). Сумма степеней = 2+2+2+5+2+2 = 15. Количество рёбер = 9. 2*9 = 18. Ошибка в подсчёте рёбер в А). Давайте пересчитаем рёбра: (A,B), (A,C), (A,D), (B,D), (C,D), (D,E), (D,F), (E,F). Всего 8 рёбер. Тогда сумма степеней 15, а 2 * 8 = 16. Ошибка в подсчёте степеней.

Пересчитаем степени вершин в исходном графе:

Исходный граф:

Степени вершин исходного графа:

• A: 3 (соединена с B, C, D)
• B: 2 (соединена с A, D)
• C: 2 (соединена с A, D)
• D: 5 (соединена с A, B, C, E, F)
• E: 2 (соединена с D, F)
• F: 2 (соединена с D, E)

Сумма степеней исходного графа: 3 + 2 + 2 + 5 + 2 + 2 = 16. Количество рёбер = 8. 2 * 8 = 16. (Это правильно).

В пункте Г) мы удалили 4 ребра. Значит, в получившемся графе стало 8 - 4 = 4 ребра.

Шаг 4 (исправленный): В получившемся графе 4 ребра. Сумма степеней вершин равна 2 * 4 = 8.

Проверка: Если мы оставили рёбра (D,A), (A,B), (A,C), (D,E), (E,F), то всего 5 рёбер. Это ошибка в пункте Г, там должно быть 5 рёбер для связного графа без циклов (дерева). Значит, нужно было удалить 8-5=3 ребра. Уберем 3 ребра. Количество рёбер станет 5.

Шаг 4 (исправленный №2): В получившемся графе 5 рёбер. Сумма степеней вершин равна 2 * 5 = 10.

Пример получившегося графа (оставлены рёбра из шага 5 пункта Г):

Степени вершин получившегося графа:

• A: 3 (соединена с B, C, D)
• B: 1 (соединена с A)
• C: 1 (соединена с A)
• D: 3 (соединена с A, E, F - если взять ребра D-E и D-F, а не D-E и D-F)
• E: 2 (соединена с D, F)
• F: 1 (соединена с E)

Корректировка выбора рёбер для Г:

Чтобы получить дерево (связный граф без циклов) с 6 вершинами, нужно 5 рёбер. Удалим 3 ребра.

Пример рёбер для удаления: (B,D), (C,D), (F,D). Останется 5 рёбер: (A,B), (A,C), (A,D), (D,E), (D,F).

Степени вершин в графе с 5 рёбрами:

• A: 3 (B, C, D)
• B: 1 (A)
• C: 1 (A)
• D: 3 (A, E, F)
• E: 1 (D)
• F: 1 (D)

Сумма степеней: 3 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 = 10. Количество рёбер = 5. 2 * 5 = 10.

Ответ: 10