Задание 7. Саша задумал натуральное число. Оказалось, что если прибавить к нему 10, то получится квадрат какого-то натурального числа. А если отнять от него 17, то получится квадрат какого-то другого натурального числа. Какое число мог задумать Саша? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Пусть задумано число n, а получившиеся квадраты — a² и b². Тогда a² = n + 10, b² = n − 17, поэтому a² − b² = 27.

1. Разложим разность квадратов: (a − b)(a + b) = 27.
2. Положительные пары множителей 27, одинаковой чётности, — (1, 27) и (3, 9). Из первой пары получаем a = 14, b = 13, откуда n = 14² − 10 = 186.
3. Из второй пары получаем a = 6, b = 3, откуда n = 6² − 10 = 26.

Проверка: 26 + 10 = 36, 26 − 17 = 9; 186 + 10 = 196, 186 − 17 = 169. Все четыре значения — квадраты натуральных чисел.

Ответ: 26 и 186.