Задание 8. На турнир по волейболу приехало 50 команд. Каждые две команды должны сыграть между собой ровно один раз. Ничьих в волейболе нет. Команда, выигравшая в этом турнире хотя бы 30 матчей, награждается кубком. Найдите наибольшее количество команд, награждённых такими кубками.

Всего матчей проводится 50 · 49 / 2 = 1225. Если кубок получат k команд, каждая из них выиграла не менее 30 матчей, а значит, всего у них не менее 30k побед.

Среди k награждённых команд проходит k(k − 1) / 2 матчей, и в каждом победа достаётся одной из них. В матчах с остальными 50 − k командами они могут получить максимум k(50 − k) побед. Поэтому число побед награждённых команд не превышает k(k − 1) / 2 + k(50 − k).

Для k = 40 этот максимум равен 780 + 400 = 1180, а требовалось бы не менее 1200 побед. Значит, 40 награждённых команд невозможны; тем более невозможны и большие значения.

Число 39 достижимо: можно устроить турнир так, чтобы каждая из 39 команд выиграла все 11 матчей против остальных 11 команд, а в играх между этими 39 командами распределить победы поровну — по 19 побед каждой. Тогда каждая из них выиграет 11 + 19 = 30 матчей. Такой турнир внутри группы из 39 команд возможен: расположив команды по кругу, можно направить победу от каждой команды к следующим 19 командам. Остальные команды кубки не получают.

Ответ: 39 команд.