Задание 7. В комнате находится a + b человек: a мужчин и b женщин. Каждая пара мужчин пожимает друг другу руки, и каждая пара женщин пожимает друг другу руки. Мужчины и женщины не пожимают друг другу руки. Общее количество рукопожатий равно 106. Найдите произведение a · b.

Число рукопожатий среди мужчин равно a(a − 1)/2, а среди женщин — b(b − 1)/2. Поэтому

\(\frac{a(a-1)}{2}+\frac{b(b-1)}{2}=106\), откуда \(a^2+b^2-a-b=212\).

Проверим целые неотрицательные числа a и b. При сумме квадратов, достаточной для этого равенства, получаем пары (a, b) = (1, 16), (16, 1), (6, 12), (12, 6), (8, 11), (11, 8): в каждом случае суммарное число рукопожатий равно 106.

Соответствующие произведения: 16, 72 и 88.

Ответ: 16, 72 или 88.