Задание 8. Диагонали прямоугольника MNKP пересекаются в точке O. Докажите, что треугольники MOP и MKN равновеликие.

В прямоугольнике MNKP диагонали — MP и NK, поэтому O лежит на MP и NK. Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам: \(MO = OP\), а \(NO = OK\). Обозначим длины сторон прямоугольника: \(MN=a\), \(NK=b\).

Треугольник MOP имеет основание \(MP\) и высоту из N? Для площади относительно основания MP его вершина — O, но O лежит на MP, поэтому точки M, O, P коллинеарны. Следовательно, \(MOP\) вырожденный треугольник с площадью 0. В то же время \(MKN\) — половина прямоугольника, его площадь \(ab/2\), и равновеликим он быть не может при ненулевых сторонах.

Вероятно, в условии опечатка в обозначении треугольника: поскольку O — пересечение диагоналей, точки M, O, P лежат на одной диагонали.

Ответ: утверждение в указанной формулировке неверно: \(S_{MOP}=0\), а \(S_{MKN}=\frac{ab}{2}>0\). Возможно, в названии одного из треугольников допущена ошибка.