Задание 8. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны между собой. Точки T и K — середины рёбер SC и BC соответственно. Найдите площадь основания пирамиды, если длина ломаной KTSDK равна 24 см.

Обозначим длину каждого ребра пирамиды через a. Основание ABCD — квадрат со стороной a.

В треугольнике SBC отрезок KT соединяет середины двух сторон, поэтому KT = SB / 2 = a / 2. Так как T — середина SC, TS = SC / 2 = a / 2.

SD — ребро пирамиды, значит SD = a. Для нахождения DK учтём, что DC перпендикулярна BC, а CK = a / 2. По теореме Пифагора: DK = √(DC² + CK²) = √(a² + a² / 4) = a√5 / 2.

По условию длина ломаной KTSDK равна 24 см:

KT + TS + SD + DK = 24,

a / 2 + a / 2 + a + a√5 / 2 = 24, откуда a(4 + √5) / 2 = 24.

Следовательно, a = 48 / (4 + √5) = 48(4 − √5) / 11 см. Площадь квадратного основания:

S = a² = 2304(21 − 8√5) / 121 см².

Ответ: 2304(21 − 8√5) / 121 см².