Задание 9. Угол между образующей и осью конуса равен 45°, образующая равна 6,5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Краткая запись:

• Угол между образующей и осью (α) = 45°
• Образующая (l) = 6,5 см
• Найти: Площадь боковой поверхности (S_бок.) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный осью конуса (h), радиусом основания (r) и образующей (l). Угол между образующей (l) и осью (h) равен 45°.
2. Шаг 2: В этом треугольнике образующая (l) является гипотенузой, а радиус основания (r) — катетом, противолежащим углу в 45°. Используем синус угла: \( \sin(45°) = \frac{r}{l} \).
3. Шаг 3: Выразим радиус основания: \( r = l \cdot \sin(45°) \).
4. Шаг 4: Подставим известные значения: \( r = 6.5 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \).
5. Шаг 5: Теперь найдем площадь боковой поверхности конуса по формуле \( S_{бок.} = πrl \).
6. Шаг 6: Подставим значения \( r \) и \( l \): \( S_{бок.} = π \cdot \left( 6.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \text{ см} \cdot 6.5 \text{ см} \).
7. Шаг 7: Вычислим: \( S_{бок.} = π \cdot \frac{6.5^{2} \cdot \sqrt{2}}{2} \text{ см}^{2} \). \( 6.5^{2} = 42.25 \).
8. Шаг 8: \( S_{бок.} = π \cdot \frac{42.25 \cdot \sqrt{2}}{2} \text{ см}^{2} \). Приблизительно \( \sqrt{2} ≈ 1.414 \).
9. Шаг 9: \( S_{бок.} ≈ π \cdot \frac{42.25 \cdot 1.414}{2} \text{ см}^{2} ≈ π \cdot \frac{59.7455}{2} \text{ см}^{2} ≈ π \cdot 29.87 \text{ см}^{2} \).

Ответ: Площадь боковой поверхности конуса равна \( \frac{42.25\sqrt{2}}{2}π \) см², или приблизительно 29.87π см².