Задание: Для того чтобы расплавить 40 т стали, взятой при начальной температуре 20 °C, потребовалось сжечь 2 т каменного угля. Определите КПД машины, используемой для этого. Удельная теплота сгорания угля равна 2,7 * 10^7 Дж/кг.

Давайте решим эту задачу по шагам. Сначала определим, какое количество теплоты необходимо для плавления стали, а затем рассчитаем КПД машины.

1. Нагрев стали до температуры плавления:

Сначала сталь нужно нагреть от начальной температуры ($$T_1 = 20 °C$$) до температуры плавления ($$T_{плавл}$$). Температура плавления стали приблизительно равна 1400-1500 °C. Возьмем среднее значение: $$T_{плавл} = 1450 °C$$.

Изменение температуры: $$\Delta T = T_{плавл} - T_1 = 1450 °C - 20 °C = 1430 °C$$

Удельная теплоемкость стали (с) приблизительно равна 500 Дж/(кг·°C).

Количество теплоты ($$Q_1$$), необходимое для нагрева стали, можно рассчитать по формуле:

$$Q_1 = m \cdot c \cdot \Delta T$$

где m - масса стали (40 т = 40000 кг).

Подставим значения:

$$Q_1 = 40000 \text{ кг} \cdot 500 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 1430 \text{ °C} = 28600000000 \text{ Дж} = 2.86 \cdot 10^{10} \text{ Дж}$$

2. Плавление стали:

Для плавления стали необходимо дополнительное количество теплоты ($$Q_2$$), которое можно рассчитать по формуле:

$$Q_2 = m \cdot \lambda$$

где $$\lambda$$ - удельная теплота плавления стали. Она приблизительно равна 270 кДж/кг или $$2.7 \cdot 10^5$$ Дж/кг.

Подставим значения:

$$Q_2 = 40000 \text{ кг} \cdot 2.7 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} = 10800000000 \text{ Дж} = 1.08 \cdot 10^{10} \text{ Дж}$$

3. Общее количество теплоты, необходимое для плавления стали:

Общее количество теплоты ($$Q_{полезное}$$) равно сумме теплоты, необходимой для нагрева и плавления:

$$Q_{полезное} = Q_1 + Q_2 = 2.86 \cdot 10^{10} \text{ Дж} + 1.08 \cdot 10^{10} \text{ Дж} = 3.94 \cdot 10^{10} \text{ Дж}$$

4. Количество теплоты, выделившееся при сгорании угля:

Масса угля (m_угля) равна 2 т = 2000 кг. Удельная теплота сгорания угля (q) равна $$2.7 \cdot 10^7$$ Дж/кг.

Общее количество теплоты ($$Q_{затраченное}$$), выделившееся при сгорании угля:

$$Q_{затраченное} = m_{угля} \cdot q = 2000 \text{ кг} \cdot 2.7 \cdot 10^7 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} = 5.4 \cdot 10^{10} \text{ Дж}$$

5. Расчет КПД машины:

КПД ($$\eta$$) можно рассчитать по формуле:

$$\eta = \frac{Q_{полезное}}{Q_{затраченное}} \cdot 100\% = \frac{3.94 \cdot 10^{10} \text{ Дж}}{5.4 \cdot 10^{10} \text{ Дж}} \cdot 100\% = 0.73 \cdot 100\% = 73 \% $$

Ответ: 73%