ЗАДАНИЕ №3 На координатной плоскости нарисовали параллелограмм \(ABCD\). Координаты его верш. \(A(0; 0), B(3; 3), C(7; 3), D(4; 0)\). Вне параллелограмма взяли точку \(M\). Найдите \(AM^2 + CM^2 – BM^2 – DM^2 =\)

Пусть координаты точки \(M(x; y)\).

Тогда:

\(AM^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2\)

\(CM^2 = (x - 7)^2 + (y - 3)^2 = x^2 - 14x + 49 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + y^2 - 14x - 6y + 58\)

\(BM^2 = (x - 3)^2 + (y - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + y^2 - 6x - 6y + 18\)

\(DM^2 = (x - 4)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2 = x^2 + y^2 - 8x + 16\)

Теперь подставим в исходное выражение:

\(AM^2 + CM^2 - BM^2 - DM^2 = (x^2 + y^2) + (x^2 + y^2 - 14x - 6y + 58) - (x^2 + y^2 - 6x - 6y + 18) - (x^2 + y^2 - 8x + 16) = \)

\(= x^2 + y^2 + x^2 + y^2 - 14x - 6y + 58 - x^2 - y^2 + 6x + 6y - 18 - x^2 - y^2 + 8x - 16 = \)

\(= (x^2 + x^2 - x^2 - x^2) + (y^2 + y^2 - y^2 - y^2) + (-14x + 6x + 8x) + (-6y + 6y) + (58 - 18 - 16) = \)

\(= 0 + 0 + 0 + 0 + 24 = 24\)

Ответ: 24