ЗАДАНИЕ №7 На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены точки М и N соответственно. Известно, что АМ : MB = 3:4 и AN: NC= 3:2. Найдите площадь треугольника AMN, если площадь треугольника АВС равна 70.

Площади треугольников относятся как произведение длин сторон, образующих угол, на синус этого угла. У треугольников ABC и AMN угол A общий, следовательно, их площади относятся следующим образом: $$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{AM \cdot AN}{AB \cdot AC}$$ Выразим отношения $$\frac{AM}{AB}$$ и $$\frac{AN}{AC}$$ через известные отношения $$\frac{AM}{MB}$$ и $$\frac{AN}{NC}$$: $$\frac{AM}{AB} = \frac{AM}{AM + MB} = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$$ $$\frac{AN}{AC} = \frac{AN}{AN + NC} = \frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$$ Подставим известные отношения: $$\frac{S_{AMN}}{70} = \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{5}$$ $$\frac{S_{AMN}}{70} = \frac{9}{35}$$ $$S_{AMN} = \frac{70 \cdot 9}{35}$$ $$S_{AMN} = 2 \cdot 9$$ $$S_{AMN} = 18$$ Ответ: 18