Задание 1. Найдите: а) cosa и tga, если sina = \(\frac{1}{5}\); б) sinß и tgß, если соѕẞ = \(\frac{3}{7}\)

Решение:

а) Дано: \(sin\alpha = \frac{1}{5}\). Найти: \(cos\alpha, tg\alpha\)

Используем основное тригонометрическое тождество: \(sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1\)

Выразим \(cos\alpha\):

\[cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha\]

\[cos\alpha = \sqrt{1 - sin^2\alpha}\]

Подставим значение \(sin\alpha\):

\[cos\alpha = \sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5}\]

Теперь найдем \(tg\alpha\), зная, что \(tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}\):

\[tg\alpha = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{\sqrt{24}}{5}} = \frac{1}{\sqrt{24}}\]

б) Дано: \(cos\beta = \frac{3}{7}\). Найти: \(sin\beta, tg\beta\)

Используем основное тригонометрическое тождество: \(sin^2\beta + cos^2\beta = 1\)

Выразим \(sin\beta\):

\[sin^2\beta = 1 - cos^2\beta\]

\[sin\beta = \sqrt{1 - cos^2\beta}\]

Подставим значение \(cos\beta\):

\[sin\beta = \sqrt{1 - (\frac{3}{7})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{49}} = \sqrt{\frac{40}{49}} = \frac{\sqrt{40}}{7}\]

Теперь найдем \(tg\beta\), зная, что \(tg\beta = \frac{sin\beta}{cos\beta}\):

\[tg\beta = \frac{\frac{\sqrt{40}}{7}}{\frac{3}{7}} = \frac{\sqrt{40}}{3}\]