Задание №17 Номер в КИМ: 2 Длины векторов $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$ равны соответственно 9 и 60, а их скалярное произведение равно 429. Найдите длину вектора $$\vec{c}$$, если $$\vec{c} = 2\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$$.

Для решения этой задачи нам потребуется формула для вычисления длины вектора, заданного через другие векторы, и знание свойств скалярного произведения. Длина вектора $$\vec{c}$$ вычисляется как $$|\vec{c}| = \sqrt{\vec{c} \cdot \vec{c}}$$. В нашем случае $$\vec{c} = 2\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$$. Тогда: $$\vec{c} \cdot \vec{c} = (2\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b})$$ Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения: $$\vec{c} \cdot \vec{c} = 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) + \frac{4}{3}(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \frac{1}{9}(\vec{b} \cdot \vec{b})$$ Заметим, что $$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$$ и $$\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$$. Подставим известные значения: $$|\vec{a}| = 9$$, $$|\vec{b}| = 60$$, $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 429$$. $$\vec{c} \cdot \vec{c} = 4(9^2) + \frac{4}{3}(429) + \frac{1}{9}(60^2) = 4(81) + \frac{4}{3}(429) + \frac{1}{9}(3600) = 324 + 572 + 400 = 1296$$ Теперь найдем длину вектора $$\vec{c}$$: $$|\vec{c}| = \sqrt{\vec{c} \cdot \vec{c}} = \sqrt{1296} = 36$$ Ответ: 36