Решение:

Воспользуемся теоремой Фалеса. Так как BC || DE || FG, то выполняются следующие соотношения:

$$\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CE} = \frac{AD}{EF} = \frac{AF}{FG}$$

Из условия задачи известны следующие значения: AB = 5, BD = 2, DF = 6, CE = 4.

1. Найдем AC:

$$\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CE}$$ $$\frac{5}{2} = \frac{AC}{4}$$ $$AC = \frac{5 \times 4}{2} = 10$$

AC = 10

2. Найдем EG:

Сначала найдем AE, используя теорему Фалеса для отрезков AD и DF:

$$\frac{AD}{DF} = \frac{AC}{CG}$$

Выразим AD через AB и BD: AD = AB + BD = 5 + 2 = 7

Выразим AF через AD и DF: AF = AD + DF = 7 + 6 = 13

Теперь можем найти CF, зная AC и используя подобие треугольников ABС и AFG:

$$\frac{AB}{AF} = \frac{AC}{AG}$$ $$\frac{5}{13} = \frac{10}{AG}$$ $$AG = \frac{10 \times 13}{5} = 26$$

Тогда CG = AG - AC = 26 - 10 = 16

Теперь, чтобы найти EG, рассмотрим пропорцию, основанную на параллельности прямых:

$$\frac{AC}{CE} = \frac{AG}{EG}$$ $$\frac{10}{4} = \frac{26}{EG}$$ $$EG = \frac{4 \times 26}{10} = 10.4$$

Ответ: AC = 10, EG = 10.4